在 Vue 项目中与 Chrome 插件的 background 页面进行通信，你可以使用 chrome.runtime.sendMessage 方法来发送消息。以下是一个示例：

首先，在 Vue 项目中的组件或页面中，使用 chrome.runtime.sendMessage 发送消息给 background 页面：

// 在Vue组件中
chrome.runtime.sendMessage({ type: 'yourMessageType', data: 'yourData' }, function(response) {
  // 在这里处理从 background 页面返回的响应
  console.log(response);
});

然后，在 Chrome 插件的 background 页面中，监听消息并处理它：

// 在 background.js 中
chrome.runtime.onMessage.addListener(function(request, sender, sendResponse) {
  if (request.type === 'yourMessageType') {
    // 处理消息，可以根据需要发送响应
    const data = request.data;
    
    // 做一些处理
    // 发送响应（如果需要）
    sendResponse({ result: 'Your response data' });
  }
});

这样，你就可以在 Vue 项目中发送消息给 background 页面，并在 background 页面中处理这些消息。如果需要从 background 页面返回响应，可以使用 sendResponse 函数发送响应数据。

请确保在 manifest 文件中正确配置了你的 background 页面和 content script（如果有的话），以便它们能够正常通信。